الرياضيات المسلية مع المثلث السحري

المفاهيم الرئيسية

الرياضيات

الجمع

العد

الألغاز

مقدمة

هل جربت استخدام الرياضيات في حل مشكلات تحير العقل؟ في سبعينيات القرن العشرين، كانت الرياضيات عادةً تُدرَّس عبر أسئلة ومهمات كتابية بسيطة يُكلف بها الطلاب. إلا أن أحد المدرسين حينها كان يبحث عن سبيل لمساعدة طلابه على دراسة الرياضيات والمنطق بطريقة مسلية أكثر، لذا طور ما يُعرَف حاليًّا بألغاز مثلث المحيط السحري. جرِّبها، وسوف تستمتع بينما تبدأ في التفكير في العد بطريقة جديدة تمامًا!

معلومات أساسية

 العد أمر شائع، لدرجة أننا نسينا أنه يرتبط بفرع الرياضيات الأوسع، المعني بدراسة الأعداد، والذي يُعرف باسم الحساب. يمكننا أن ننظر إلى العد على أنه إضافة عنصر واحد بشكل متكرر؛ فعندما تضيف عنصرًا إلى آخر، يصبح لديك عنصران. وعندما تضيف عنصرًا آخر يصبح لديك ثلاثة، وهكذا. الجمع هو عملية إضافة الأعداد. تسمى نتيجة الجمع المجموع. مع الأعداد الصغيرة، يمكنك استخدام العد لإيجاد المجموع. على سبيل المثال، إذا كان لديك ثلاثة وتريد أن تضيف إليها اثنين، يمكنك أن تعد عددين بعد العدد ثلاثة لتصل إلى خمسة. إذا تدربت كثيرًا، ستتمكن غالبًا من حفظ مجاميع الأعداد من واحد حتى 10، وحينها يصبح اللعب بالأعداد لإيجاد جميع الطرق الممكنة لتكوين مجموع محدد أمرًا ممتعًا.

تُعد ألغاز الرياضيات وألعابها طريقةً مسليةً للتدرب على حساب الأعداد. كما تقدم الألغاز أيضًا سبلًا ممتعة لبناء التفكير الإستراتيجي والمنطقي. بالقليل من التجربة والخطأ، ستتمكن غالبًا من إيجاد إستراتيجيات جديدة لإنهاء اللغز بطريقة أسرع. وهذه الأساليب الفنية نفسها يستخدمها علماء الرياضيات، ألا وهي البدء بالأكثر بساطةً ومحاولة إيجاد أنماط في سلسلة الحلول. ثم تُستَخدم هذه الأنماط للتنبؤ بحلول ألغاز أكثر تعقيدًا.

إذا كان كل ما سبق يبدو نظريًّا للغاية بالنسبة لك، فجرِّب حل اللغز في النشاط التالي! فقد يساعدك في استيضاح عملية تعلمُّ الحساب.

المواد المستخدمة

•       ورقتان أبعادهما 9 بوصات في 12 بوصة، مثل الورق المقوى الملون المستخدم في التصميمات والأعمال الفنية. (اختر لونين متباينين إن أمكن)

• قلم رصاص أو قلم تحديد.
• مسطرة.
• مقص.
• عملة معدنية أو غرض آخر بالحجم نفسه.

• 21 بنسًا، أو أي أغراض شبيهة يمكن تكديسها.
• أوراق إضافية. (اختياري)

التحضير

• ارسم مثلثًا كبيرًا على ورقة. (يمكنك استخدام مسطرة لمساعدتك على رسم خطوط مستقيمة)

• استخدم العملة المعدنية لرسم دائرة عند رؤوس المثلث، ثم استعملها لرسم دائرة في منتصف كل ضلع في المثلث. ليصبح لديك ست دوائر.

• في الجزء السفلي من الورقة الثانية، ارسم ست دوائر بالحجم نفسه الذي رسمت به الدوائر على المثلث.
• قص هذه الدوائر، ورقمها بالأعداد من 1 حتى 6. سنشير إلى هذه الدوائر باسم أقراص الأعداد.
• احتفظ بالجزء العلوي من الورقة الثانية. ستستخدمه في تدوين حلولك.

الطريقة

• في الورقة المرسوم عليها المثلث، استخدم الـ21 بنسًا لبناء أبراج فوق كل دائرة. يجب أن يكون في كل دائرة بنسٌ واحدٌ على الأقل، لكن لا يجب أن يكون لأي برجين الارتفاع نفسه. هل يمكنك فعل ذلك؟
• استمر في المحاولة حتى تتمكن من إيجاد حل!
• عد البنسات في كل برج. دوِّن كل مجموع من الأصغر إلى الأكبر. ماذا تلاحظ بخصوص مجموعة الأعداد تلك؟
• غيِّر مواضع الأبراج أو أعد بناءها كي تتمكن من تحقيق شرط آخر: يجب أن يكون إجمالي عدد البنسات المستخدمة في بناء الأبراج الثلاثة على كل ضلع من أضلاع المثلث متماثلًا. على سبيل المثال، إذا بنيت أبراجًا مكونة من بنس واحد، و5 بنسات، و3 بنسات في الدوائر المتراصة على أحد أضلاع المثلث، فقد استخدمت 1 + 5 + 3 = 9 بنسات في ذلك الضلع. بالتالي، لا يمكنك بناء أبراج مكونة من بنسٍ واحد، وبنسين، و4 بنسات على الدوائر المرسومة على الضلع المجاور، لأن 1+ 2 + 4 = 7 وليس 9 مثل الضلع الأول. (لاحظ أن البرج المكون من بنس واحد موضوع على رأس هذا المثلث، لذا فهو مشترك بين ضلعين). أما إذا جربت 1 و2 و6 على الجانب المقابل، فسيفلح ذلك؛ لأن 1 + 2 + 6 = 9. الآن، يمكنك بناء البرج الوحيد المتبقي والتحقُّق مما إذا كانت الأبراج الثلاثة مكونة من تسعة بنسات على الضلع الثالث للمثلث. جرب ذلك! هل وجدت حلًّا؟
• إن لم يكن ذلك حلًّا، ففكر: هل يمكنك إعادة ترتيب بضعة أبراج كي تجد حلًّا؟

• إذا كان حساب الأعداد المجردة أسهل بالنسبة لك، فاستعمل أقراص الأعداد بدلًا من أبراج البنسات. حينها يمثل كل قرص برجًا من البنسات. يدل العدد المكتوب على أقراص الأعداد على عدد البنسات المكوِّنة لكل برج.
• استخدام 9 بنسات على كل ضلع ممكن! هل وجدت الحل؟ هل هناك عدة طرق لترتيب الأبراج بحيث يكون في كل ضلع 9 بنسات؟
• هل يمكنك ترتيب البنسات بحيث تستخدم 10 أو 11 أو حتى 12 بنسًا في كل ضلع؟

• نشاط إضافي: وضح أنه لا توجد حلول تمكِّنك من استخدام 8 بنسات أو أقل لكل ضلع — أو وضح أنه لا توجد حلول تتضمن إجمالي 13 بنسًا أو أكثر في كل ضلع.
• نشاط إضافي: اللغز المعروض في ذلك النشاط يسمى «المثلث السحري من الرتبة الثالثة». لتوسعة المثلث السحري إلى مثلث ذي رتبة أعلى، ارسم مثلثًا جديدًا. أضف الدوائر عند رؤوس المثلث كما فعلت في المرة الأولى، لكن هذه المرة ارسم دائرتين إضافيتين على كل ضلع من أضلاع المثلث بين رؤوسه. ستحتاج إلى تسعة أقراص أعداد في هذا اللغز. رقِّمها بالأعداد من 1 إلى 9. ومثل اللغز السابق بالضبط، عليك إيجاد طرق تمكِّنك من وضع الأقراص على الدوائر بحيث يصبح مجموع الأعداد على كل ضلع من أضلاع المثلث متطابقًا. يسمي علماء الرياضيات هذا المثلث «مثلثًا من الرتبة الرابعة»؛ لأنه يحوي أربعة أعداد في كل ضلع. بعد أن تحل هذا اللغز، جرِّب حل مثلث من الرتبة الخامسة (أضف ثلاث دوائر بين الرؤوس وقص 12 قرص أعداد)، ثم مثلث من الرتبة السادسة، وهكذا.

• نشاط إضافي: هل يمكنك وضع إستراتيجية لإيجاد حلول لهذا النوع من الألغاز بسرعة؟

المشاهدات والنتائج

هل وجدت أنه بإمكانك ترتيب الـ21 بنسًا في أبراج مكونة من 1 و2 و3 و4 و5 و6 بنسات إن كنت تحتاج إلى ستة أبراج بارتفاعات مختلفة؟ هل يمكنك ابتكار طرق لترتيب الأبراج بحيث يصبح مجموع البنسات المستخدمة في كل ضلع من أضلاع المثلث الثلاثة متطابقًا؟ هل من الممكن تكوين مجاميع تساوي 9 و10 و11 و12 بنسًا في كل ضلع؟

لاستخدام إجمالي 9 بنسات في كل جانب، ضع الأبراج المكونة من 1 و2 و3 بنسات عند رؤوس المثلث. وضع البرج المكون من 6 بنسات بين البرج المكون من بنس واحد والبرج المكون من بنسين؛ لأن 1 + 2 + 6 = 9. وضع البرج المكون من 5 بنسات بين البرج المكون من بنس واحد والبرج المكون من 3 بنسات، لأن 1 + 3 + 5 يساوي أيضًا 9. وعلى الضلع الثالث ستقع الأبراج المكونة من 2 و4 و3 بنسات. لاحظ كيف أن الأبراج ذات الأعداد الأصغر وُضِعَت عند رؤوس المثلث في ذلك الحل.

لترتيب الأبراج بحيث تستخدم 12 بنسًا على كل ضلع، ابدأ أولًا بتكوين الأبراج الأطول (المكونة من 6 و5 و4 بنسات) عند رؤوس المثلث ثم املأ الدوائر بينها. ضع أصغر برج متبقٍّ (المكون من بنس واحد) بين أطول برجين (المكونين من 5 بنسات و6 بنسات). أتلاحظ أن أصغر برج سيتبقى لك بعدها (المكون من بنسين) سيكون مكانه بين أطول برجين بينهما دائرة فارغة (البرج المكوَّن من 6 بنسات والبرج المكوَّن من 4 بنسات)؟

إحدى الإستراتيجيات التي يمكنك استخدامها لإيجاد الحل المتضمن 10 بنسات على كل ضلع هي أن تضع قائمة بجميع الطرق التي تستطيع من خلالها تكوين 10 بجمع ثلاثة أعداد مختلفة. ستجد أن 3 + 2 + 5 = 10، 5 + 4 + 1 = 10، 1 + 6 + 3 = 10. أتلاحظ أن الأعداد 3 و5 و1 هم جزء من مجموعين بين هذه المجاميع؟ هذا يعني أن هذه الأعداد مكانها عند رؤوس المثلث. يمكنك استخدام الإستراتيجية نفسها لمعرفة كيفية ترتيب البنسات بحيث يُستخدم 11 أو 12 بنسًا على كل ضلع.

هل تتساءل كيف تعرف أنه لا يمكن استخدام 8 بنسات في كل ضلع؟ إذا كان لديك 8 بنسات على كل ضلع، فهذا يعني استخدام 3 × 8 أو 24 بنسًا في المثلث بالكامل. ولأنك تستخدم البنسات الموجودة عند رؤوس المثلث مرتين، فأنت تستخدم عدد بنسات أقل، بما يساوي بحد أقصى 1 + 2 + 3 (مجموع أصغر ثلاثة أبراج) أو 6. بعبارة أخرى، لن تستخدم أكثر من 18 بنسًا بحد أقصى. واللغز يتطلب استخدام 21 بنسًا.